模型预测控制 MPC

一句话定义

模型预测控制（MPC）在每一拍用动力学模型向前"预演"未来 N 步，通过优化选出当前最优动作、只执行第一步、下一拍重算——把控制问题变成滚动时域的实时优化。

为什么重要

• 它是唯一能显式处理约束（限位、摩擦锥、碰撞、力限制）的主流控制框架——RL 学约束靠惩罚，MPC 直接写进优化问题。
• 四足步态（kp-204）、人形全身控制、无人机竞速的工业方案都是 MPC；接触丰富的操作也在被 MPC 化。
• 理解 MPC 才能理解"模型 vs 学习"之争的真正形态：如今多为混合——MPC 的骨架 + 学习的模型/代价。

前置知识

kp-201（动力学）、最优化基础（QP/NLP）。

核心概念

MPC 循环：测量当前状态 → 在时域 $N$ 上解最优控制问题（OCP）→ 执行最优解第一拍 → 状态更新 → 重复。"滚动时域"让它天然闭环，能吸收模型误差与扰动。

问题要素：

• 模型 $\mathbf{x}_{k+1} = f(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k)$：线性（QP 可解）或非线性（NLP/iLQR）；
• 代价：跟踪误差 + 控制量惩罚 + 平滑性；
• 约束：输入/状态限幅、接触摩擦锥、障碍。

求解器谱系：

• 线性 MPC：QP，毫秒级，工业标配。
• 非线性 MPC：SQP / 内点法（OCS2、Crocoddyl、acados）；差分动态规划族（DDP/iLQR）利用二阶结构极快——MuJoCo 作者 Tassa 2012 年证明 iLQG 可在桌面级 CPU 上实时规划全身运动。
• GPU 并行采样式 MPC：MPPI（模型预测路径积分）、以及 2024 前后的 GPU 大规模 rollout 采样（如 Genesis/Isaac 上的预测控制），用并行度换实时性，模型可以是学出来的。

与 RL 的关系：MPC 是"显式模型 + 每拍优化"；RL 是"离线学出策略，在线查表"。当模型好、约束硬 → MPC；当模型难写、数据多 → RL；当模型可学但策略需适应 → 学习型 MPC（用世界模型 kp-306 当 $f$）。

原理与机制

为什么 MPC 鲁棒：每一拍都基于最新状态重解，等于每拍都在闭环纠偏；模型错一点，下一拍就修正。时域 $N$ 是鲁棒性与算力的旋钮：$N$ 大看得远但解得慢，$N$ 小反应快但短视（可能陷入局部陷阱）。

实时性工程： MPC 的死穴是解算时间超过控制周期。手段：①降阶模型（质心模型替代全身动力学）；②热启动（用上拍解初始化）；③早停到可行解；④专用代码生成（acados/CasADi 生成 C 代码）。

接触难题：接触的进出使动力学分段光滑，优化问题非凸。主流做法是固定接触时序（schedule）只优化力（MIT Cheetah 路线），或软接触模型让优化自己找接触时刻（更难）。这是"接触 MPC"仍是研究热点的原因。

公式与图示

        │ ◄─ 时域 N（未来）
状态 ───┼──────────────────► 时间
        ●━━━━━━━━━━━━━━━►   ← 本拍优化出的轨迹
        ●→                  ← 只执行第一拍
         ●━━━━━━━━━━━━━━►  ← 下一拍重解（滚动）
          ●━━━━━━━━━━━━━►

直观类比

• 下棋算 N 步：每走一子前在脑内推演未来几步，选当前最好的一步落子；对手（世界扰动）回应后重新推演——MPC 就是"滚动深度的棋手"。
• 开车看远方：你不会只盯车头（低频反馈），也不规划全程每一脚油门（全局轨迹）；你看前方几十米（时域）决定当前方向盘转角。

实例与案例

• 四足/人形：质心 MPC（0.02~0.1 s 时域）+ WBC 执行是 MIT Cheetah、ANYmal、多数国产人形的主流栈；iLQR/D dileep? （Crocoddyl）用于更全身的版本。
• 无人机竞速（UZH Swift, Nature 2023）：非线性 MPC + 学习式残差，战胜人类冠军飞手。
• 桌面操作：iLQR 用于推滑物体（nonprehensile）；软化接触的 MPC 能实时规划"用推的挪箱子"。

常见误区

• 误区一：MPC 需要完美模型。MPC 的优势恰恰是对模型误差的鲁棒性（滚动重解）；误差大时配学习残差模型即可。
• 误区二：时域越长越好。长时域放大模型误差积累且解算慢；工程上常用分层：长时域简化模型 + 短时域精细模型。
• 误区三：MPC 与 RL 二选一。前沿系统大量混合：RL 训策略初始化 MPC、MPC 作为 RL 策略的底层执行器、或用 RL 学 MPC 的代价函数。

自测题

1. 写出 MPC 的标准优化问题，并解释"滚动时域"为什么带来闭环鲁棒性。
2. iLQR 为什么比一般非线性优化快？它利用了什么结构？
3. 设计一个"推箱子到目标点"的 MPC：模型、代价、约束各写什么？

与其他知识点的关系

• kp-204 步态/WBC：MPC 的足式主战场。
• kp-206 RL：同属序贯决策求解器，方法论互补。
• kp-306 世界模型：学习式 $f$ 让 MPC 扩展到模型难写的任务。

延伸阅读

• Rawlings, Mayne & Diehl, Model Predictive Control: Theory, Computation, and Design, 2017。
• Tassa, Mansard & Todorov, Control-Limited Differential Dynamic Programming, ICRA 2014。
• 开源工具：OCS2、Crocoddyl、acados、MuJoCo MPC（mujoco_mpc / MPPI）。